Chapter 13

소자 실험실

지금까지는 공핍 근사와 손으로 푼 식으로 접합을 이해했다. 실제 소자 설계자는 근사 대신 포아송 방정식과 연속 방정식을 컴퓨터로 함께 풀어 답을 얻는다. 이 장은 그 계산기, 곧 TCAD(Technology CAD)의 1차원 축소판이다. 도핑 영역을 쌓아 구조를 만들고, 바이어스를 걸고, 빛을 비추며 밴드와 캐리어와 전류가 어떻게 바뀌는지 직접 확인해 보자.

도핑 영역(종류·농도·폭·분포 모양)을 조합해 pn, p⁺n, pin, n⁺nn⁺, 경사 접합을 직접 만든다.
바이어스·온도·수명·빛을 바꾸며 밴드 다이어그램, 준페르미 준위, 캐리어, 전기장, 전하, 전류 성분을 함께 읽는다.
I–V 스윕에서 이상 계수와 포화 전류를 뽑고, 공핍 근사·쇼클리 식과 수치 해를 비교한다.
드리프트–확산 솔버가 무엇을 어떻게 푸는지(샤페터–거멜 이산화, 거멜 반복과 뉴턴법)와 그 한계를 안다.

실험대

아래 프리셋 중 하나를 누르거나, 오른쪽(좁은 화면에서는 아래) 구조 탭에서 영역을 직접 추가·삭제·이동해 소자를 만든다. 왼쪽 끝이 바이어스 $V_a$를 거는 접촉, 오른쪽 끝이 접지다. 두 접촉은 모두 오믹 접촉(Ohmic contact)이다. 그래프 위에서 마우스를 움직이거나 손가락으로 끌면 모든 그래프에 같은 위치의 세로선이 그려지고, 아래 표에 그 점의 값이 나온다.

SIMULATOR

1D 드리프트–확산 소자 실험실

준비 중

바이어스 V_a (왼쪽 접촉)

캐리어 입자 공핍 근사 겹쳐 보기 E_i 표시

에너지 밴드 E_c E_v E_Fn E_Fp

캐리어 농도 (log) n p |N_D−N_A|

전기장 E (kV/cm)

공간 전하 ρ/q (cm⁻³)

전위 ψ (V)

전류 밀도 (A/cm²) J_n J_p J

재결합·생성 (cm⁻³s⁻¹) U = R G (빛)

단자 전류 J (+x 방향)—

내부 전위 |ψ(L)−ψ(0)| (평형)—

최대 전기장 |E|—

공핍 폭 (n+p < 10% |N|)—

반복 / 계산 시간—

커서 위치의 값 — 그래프 위를 가리키거나 끌어 보자.

바뀌면 자동 스윕

log|J| – V 현재 이전 스윕

J – V (선형)

국소 이상 계수 n(V) = (1/V_t)·dV/d ln|J|

국소 n (현재 V_a)—

J₀ ≈ |J|·e^−|V|/nV_t—

단락 전류 J_sc—

개방 전압 V_oc—

해볼 것: ① “pn 다이오드”에서 V_a를 0 → 0.6 V로 올리며 공핍층의 E_Fn과 E_Fp가 0.6 eV 벌어지는 것과 캐리어 그래프에서 소수 캐리어가 주입되는 것을 보자. ② 역방향 −5 V에서 전기장 삼각형이 커지고 전류가 생성 전류(공핍층 SRH)로 포화되는 것을 확인하자. ③ τ를 10 ns로 줄이면 I–V의 낮은 순방향 영역에서 n ≈ 2 구간이 넓어진다. 계산은 이 페이지의 결합 뉴턴 솔버(SC 엔진의 확장)가 하며, 모든 상태는 주소 해시(#s=…)에 저장된다.

실험 카드

각 카드의 버튼을 누르면 구조·조건이 실험대에 실리고 화면이 실험대로 이동한다. 무엇을 볼지 먼저 읽고, 예상을 세운 다음 확인하자.

PREDICT

단측 접합의 공핍층은 어디로 퍼지나?

p⁺ 영역(10¹⁹ cm⁻³)과 n 영역(10¹⁶ cm⁻³)을 붙인 p⁺n 접합에 −5 V 역바이어스를 건다. 공핍층(전기장이 0이 아닌 구간)은 주로 어디에 생길까? 먼저 고르고 실험대에서 확인하자.

CHALLENGE

새지 않으면서 장벽은 높은 다이오드

Si, 300 K, τ_n = τ_p ≤ 1 µs, 빛 없음, 모든 영역의 도핑 ≤ 10¹⁸ cm⁻³(그보다 높으면 실제로는 터널링이 생기는데 이 솔버에는 없다) 조건에서, 내부 전위 ≥ 0.88 V이면서 V_a = −2 V에서 누설 |J| ≤ 1×10⁻⁸ A/cm²인 구조를 실험대에서 설계하라. 기본 “pn 다이오드”는 둘 다 통과하지 못한다. 왜 두 조건이 서로 당기는지 생각해 보자.

조건: Si · 300 K · τ ≤ 1 µs · 빛 끔 · 도핑 ≤ 10¹⁸
내부 전위 ≥ 0.88 V
|J(−2 V)| ≤ 1×10⁻⁸ A/cm²

내부 전위—

|J(−2 V)|—

판정—

힌트: 생성 전류는 대략 $qn_iW/2\tau$다. 내부 전위 $V_{bi} = V_t\ln(N_AN_D/n_i^2)$를 올리려면 도핑 곱을 키워야 하고, 그러면 W도 줄어든다. 한쪽만 높이는 단측 접합은 W가 낮은 쪽 도핑에 묶인다.

솔버는 무엇을 푸는가

소자 속 정전기와 수송은 세 개의 연립 미분 방정식으로 요약된다. 미지수는 정전 전위 $\psi(x)$, 전자 농도 $n(x)$, 정공 농도 $p(x)$이다.

$$\frac{d}{dx}\!\left(\varepsilon_s\frac{d\psi}{dx}\right) = -q\,\big(p - n + N_D^+ - N_A^-\big)$$ $$\frac{1}{q}\frac{dJ_n}{dx} = R - G,\qquad -\frac{1}{q}\frac{dJ_p}{dx} = R - G$$ $$J_n = q\mu_n nE + qD_n\frac{dn}{dx},\qquad J_p = q\mu_p pE - qD_p\frac{dp}{dx},\qquad R = \frac{np-n_i^2}{\tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1)}$$

첫째가 포아송 방정식, 둘째가 정상 상태 연속 방정식, 셋째가 드리프트–확산 전류와 SRH 재결합이다. $n_1 = n_ie^{(E_t-E_i)/kT}$, $p_1 = n_ie^{-(E_t-E_i)/kT}$. 이동도는 도핑 의존(Si는 아로라 모형), $D = \mu V_t$(아인슈타인 관계).

경계 조건은 오믹 접촉이다. 접촉 바로 옆은 전하 중성이고 평형($np = n_i^2$)이며, 왼쪽 접촉의 준페르미 준위만 $V_a$만큼 내려간다. 즉 접촉에서 $\psi = \psi_{eq} + V_a$, $\phi_n = \phi_p = V_a$이고 오른쪽은 0이다.

샤페터–거멜 이산화

격자점 사이의 전류를 단순한 중심 차분으로 쓰면 격자 간격 하나에 걸린 전위차가 $2V_t$(약 52 mV)를 넘는 순간 해가 진동하고 농도가 음수가 된다. 공핍층에서는 수십 nm 사이에 1 V가 걸리니 이 조건을 지키려면 격자가 터무니없이 촘촘해야 한다. 샤페터–거멜(Scharfetter–Gummel, 1969) 방법은 두 격자점 사이에서 전류와 전기장이 일정하다고 보고 그 구간의 드리프트–확산 식을 정확히 적분한다.

$$J_{n,i+\frac12} = \frac{qD_n}{h_i}\Big[n_{i+1}B(\Delta_i) - n_iB(-\Delta_i)\Big],\qquad J_{p,i+\frac12} = \frac{qD_p}{h_i}\Big[p_iB(\Delta_i) - p_{i+1}B(-\Delta_i)\Big]$$ $$\Delta_i = \frac{\psi_{i+1}-\psi_i}{V_t},\qquad B(z) = \frac{z}{e^z-1}\ \ (\text{베르누이 함수})$$

$\Delta \to 0$이면 확산 차분, $|\Delta| \gg 1$이면 상류(upwind) 드리프트가 된다. 구간 안의 농도는 직선이 아니라 지수 모양으로 이어진다고 가정하는 셈이다.

SIMULATOR

중심 차분 vs 샤페터–거멜: 격자 하나에 걸린 전위차

격자당 전위차 Δψ/V_t 격자 구간 수

정확한 해샤페터–거멜중심 차분

중심 차분 최솟값—

SG 격자점 최대 오차—

일정한 전기장 속 전자 농도 $n(0)=1$, $n(1)=0$ 문제다. Δψ/V_t가 2를 넘으면 중심 차분 해가 위아래로 출렁이고 음수가 된다(비물리). SG는 전기장이 일정하면 격자점에서 정확한 해와 일치한다(오차는 반올림 수준).

거멜 반복과 뉴턴법

세 방정식은 서로 얽혀 있다. 전위가 캐리어를 정하고, 캐리어가 다시 전하로 전위를 정한다. 거멜 반복(Gummel iteration)은 한 번에 하나씩 푼다. 준페르미 전위를 고정하고 비선형 포아송을 풀고, 그 전위로 전자·정공 연속 방정식(선형)을 차례로 푼 뒤, 전위가 더는 바뀌지 않을 때까지 되풀이한다.

그림 13-1. 거멜 반복. 방정식 사이의 결합이 약한 저전류·저주입에서는 몇 번 만에 수렴하지만, 큰 전류가 흐르는 저항이나 떠 있는 영역(2단자 npn의 베이스)처럼 결합이 강하면 느려지거나 진동한다. 이 실험실은 세 방정식을 한꺼번에 선형화하는 결합 뉴턴법을 쓰고, 바이어스를 작은 걸음으로 올리며(실패하면 걸음을 반으로) 앞 해를 초기값으로 삼는다.

SIMULATOR

거멜 vs 뉴턴: 바이어스 걸음마다 반복 횟수

바이어스 경로 (실험대의 현재 구조)

거멜 (SC.Device1D, 균일 401점)결합 뉴턴 (이 실험실)

거멜: 총 반복 / 시간—

뉴턴: 총 반복 / 시간—

마지막 점 J (거멜 / 뉴턴)—

해볼 것: pn 다이오드에서는 둘 다 몇 번 만에 끝난다. “n⁺nn⁺ 저항”이나 “npn (2단자)”을 실험대에 올리고 다시 실행하면 거멜은 걸음마다 수백 번(상한 300) 돌거나 수렴하지 못한다. 뉴턴 한 번은 거멜 한 번보다 비싸지만 보통 2차 수렴으로 몇 번이면 끝난다. 거멜이 아주 느린 구조에서는 이 비교에 몇 초가 걸릴 수 있다.

이 실험실이 모르는 것

교육용 1차원 모델의 한계

① 1차원: 가장자리, 표면, 2차원 전류 퍼짐이 없다. 단면적은 1 cm²로 보고 전류 밀도만 계산한다. ② 터널링 없음: 밴드 간(제너) 터널링과 트랩 보조 터널링이 없어서 10¹⁹ 이상 양쪽 고도핑 접합의 역방향 전류를 크게 과소평가한다. ③ 충돌 이온화 없음: 애벌랜치 항복이 일어나지 않는다(−5 V에서도 전류가 생성 전류로 포화). ④ 오믹 접촉만: 쇼트키 접촉, 접촉 저항, 표면 재결합 속도는 없다. 그래서 쇼트키 다이오드 프리셋은 만들지 않았다. ⑤ 볼츠만 통계·완전 이온화: 축퇴 도핑의 페르미–디랙 효과와 불완전 이온화가 없다. ⑥ 밴드갭 축소(BGN) 없음, 오제·복사 재결합 없음, 수명은 위치와 무관한 상수. ⑦ 속도 포화 없음: 이동도는 도핑에만 의존하므로 강한 전기장에서 드리프트 속도가 한없이 커진다. ⑧ 한 가지 재료만(이종 접합 없음), 등온, 정상 상태(과도 응답·용량 없음).

상용 TCAD(Sentaurus Device, Silvaco Atlas 등)는 2·3차원 비균일 메시 위에서 이 모든 효과의 모형과 열 방정식, 양자 보정까지 함께 풀고, 모형 변수를 측정값에 맞추는 데 많은 시간을 쓴다. 그래도 뼈대는 여기와 같다. 포아송 + 연속 방정식, SG 이산화, 뉴턴법, 바이어스 걸음이다.

핵심 정리

소자 시뮬레이션은 포아송 방정식(ψ)과 전자·정공 연속 방정식(n, p)을 경계 조건과 함께 연립해서 푸는 일이다. 공핍 근사는 이 해의 특별한 근사다.
공핍 근사는 공핍층 경계를 날카롭게 자르지만, 수치 해에서는 경계가 디바이 길이 정도로 둥글고 영바이어스 근처에서는 특히 차이가 크다.
순방향 바이어스에서 준페르미 준위는 공핍층을 거의 평평하게 지나며 $E_{Fn}-E_{Fp} \approx qV_a$만큼 벌어진다. 소수 캐리어 주입과 $np = n_i^2e^{V_a/V_t}$가 바로 이것이다.
I–V의 국소 이상 계수는 낮은 순방향(공핍층 재결합, n ≈ 2), 중간(확산, n ≈ 1), 높은 순방향(고주입·직렬 저항, n → 2 이상)을 구분해 준다.
SG 이산화는 격자당 전위차가 커도 안정하고, 결합 뉴턴법은 거멜 반복이 느린 고전류·떠 있는 영역에서도 빠르게 수렴한다. 모델에 없는 물리(터널링, 충돌 이온화, 쇼트키, 축퇴, BGN, 속도 포화)는 결과에도 없다.

확인 퀴즈

중심 차분 대신 샤페터–거멜 이산화를 쓰는 가장 중요한 이유는?

SG는 두 격자점 사이에서 일정한 전기장·전류를 가정하고 드리프트–확산 식을 정확히 적분한다. 그래서 공핍층처럼 짧은 거리에 큰 전위차가 걸려도 안정하다(중심 차분은 Δψ > 2V_t에서 진동).

Si pn 다이오드에 V_a = 0.6 V 순방향을 걸었다. 공핍층 한가운데에서 E_Fn − E_Fp는 대략?

공핍층은 얇아서 그 안의 재결합으로 준페르미 준위가 거의 변하지 않는다. 두 준위의 간격은 접촉 사이 전압 qV_a와 같고, 그래서 공핍층 가장자리에서 np = n_i²e^V_a/V_t이 된다. V_bi − V_a는 줄어든 장벽 높이다.

N_A = 10¹⁹, N_D = 10¹⁶ cm⁻³인 p⁺n 접합에서 n 쪽 공핍 폭 x_n은 p 쪽 x_p의 몇 배인가?

전하 중성 N_Ax_p = N_Dx_n이므로 x_n/x_p = N_A/N_D = 1000. 전체 폭 W는 낮은 쪽 도핑의 제곱근에 반비례한다.

같은 도핑의 Ge 다이오드가 Si보다 역방향 누설이 훨씬 큰 주된 이유는?

300 K에서 n_i는 Ge ≈ 2×10¹³, Si ≈ 10¹⁰ cm⁻³다. 확산 포화 전류 J₀ ∝ n_i²는 수백만 배, 공핍층 생성 전류 ∝ n_i는 약 2000배 크다.

이 실험실에서 양쪽을 10²⁰ cm⁻³으로 도핑한 p⁺⁺n⁺⁺ 접합에 −5 V를 걸면, 실제 소자와 가장 크게 다른 점은?

공핍 폭이 수 nm라 MV/cm 전기장이 걸리면 가전자대 전자가 전도대로 바로 터널링한다(제너 다이오드, 터널 다이오드). 이 솔버는 SRH 생성만 알기 때문에 그 전류를 볼 수 없다. 모델에 없는 물리는 결과에도 없다.

Si 다이오드의 I–V에서 아주 낮은 순방향(≈ 0.1~0.3 V)의 이상 계수가 2에 가까워지는 원인은?

공핍층 한가운데서 n = p = n_ie^V/2V_t일 때 재결합이 가장 크므로 이 전류는 e^V/2V_t로 자란다. 수명 τ를 줄이면 이 구간이 더 넓어진다. 실험대의 n(V) 그래프로 확인해 보자.